应用数学教中“应用”这个词，具有两层含义。
第一层，是二十世纪的含义。那时的“应用数学”，总是指波音公司那样的机构所需要的东西——我们利用数学去帮助工程师设计飞机、潜艇结构，或建筑物。数学被应用于工程、科学、物理领域，以正弦、余弦和各种函数为工具。爱因斯坦所用的数学，也属于“应用数学”的范畴。
但你知道，在二十一世纪，一个惊人的转变已经发生。如今的“应用数学”，已经不再是某个具体学科，不再局限于微分方程或微积分。事实证明——你能想象到的每一种数学，都是“应用数学”。
如果你关心数字，那么几乎所有涉及数字相乘与分解的地方，都与现实应用息息相关——这正是你刷信用卡时，数据被加密的方式。因此，美国国家安全局（NSA）雇佣的大多是数学博士或数论学家。原本纯粹的数论，如今对全世界的人来说都变得实用。
如果你关心“机率”与“偶然性”的问题，比如一次掷硬币出现正反面的几率，或掷骰子的分布——这类问题如今正是商业预测分析的基础。当企业需要建模时，他们面对的数据量庞大得惊人，不可能做到百分之百精确，于是他们满足于90%、甚至95%的把握，因为每秒钟都有数太字节的数据涌入。也就是说，原本只属于概率论的思想，如今都成了“应用”的核心。
如果你关心分子是如何排列、魔方的结构与形状如何变化——你会发现，这些“形态模式”正是量子力学与化学的基础。几乎每一个数学思想，都有了应用：从数论的抽象世界，到现实的工程、商业与自然。
而我个人所关心的东西之一，是“形状”。最近几年，一场与“形状”相关的革命正在发生。这里的“形状”，不是几何意义上的形状——不是球面、角度与度量——而是拓扑意义上的形状。所谓“拓扑”，可以这样理解：摘下你的眼镜，世界变得模糊不清。你还能大致辨认出形状，但看不清细节。拓扑关心的，就是这种“模糊但整体”的形态。
在斯坦福大学，有一位名叫古纳·卡尔森（Gunnar Carlson）的教授。他是一个新领域的奠基人之一——拓扑数据分析（Topological Data Analysis）。他的研究方法是：面对一堆复杂的数据，他“摘下眼镜”来看——也就是在一个模糊的框架中观察数据的整体形态，而不是精确的角度与距离。
这样的做法极为有用，因为现实世界中几乎所有数据都带有噪声。没有任何数据是完美的——比如你在单位填报信息、刷短视频、在淘宝或京东购物时，总会有些栏位没填完整，或者某些内容填错了。。这些空洞与误差，使数据变得不完整。
然而，通过“摘下眼镜”，以一种模糊的方式去把握其大致结构，反而能揭示真正的规律。这正是拓扑数据分析的美妙之处。借助这种方法，你能立刻判断一个人是否健康、是否属于糖尿病Ⅰ型或Ⅱ型患者——只需看数据的整体拓扑结构，而无需精确的几何测量。那种粗略的形态本身，就足以区分不同的分支。
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